- 一个克里特人说："我说这句话时正在说慌。"然后这个克里特人问听众他上面说的是真话还是假话？这个悖论出自公元前六世纪希腊的克里特人伊壁孟德，使得希腊人大伤脑筋，连西方的圣经《新约》也引用过这一悖论。对克里特人"我说这句话时正在说慌"不可判其真亦不可判其伪。
- 柏拉图调侃他的老师："苏格拉底老师下面的话是假话。"苏格拉底回答说："柏拉图上面的话是对的。"不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。
- 先有鸡还是先有蛋？
- 美国数学家缪灵写了一部标题为《这本书的书名是什么》的书，问：缪灵的这本书的书名是什么？
- 女儿在卡片上写道："今日下午三时之前，您将写一个'不'字在此卡片上。"随即女儿要求父亲判断她在卡片上写的事是否会发生；若判断会发生，则在卡片上写"是"，否则写"不"。问：父亲是写"是"还是写"不"？
- 一只蠕虫从一米长的橡皮绳的一端以每秒1厘米的速度爬向另一端，橡皮绳同时均匀地以每秒1米的速度向同方向延伸，蠕虫会爬到另一端吗？蠕虫每前进1厘米，同时绳子的另一端却拉远1米，近不抵疏，怕是永远爬不到头了。
- 龟 对兔说："你不要想追上我，我现在在你的前方1米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1厘米到C1点，等你追到C1点时， 我已爬到距你1/100厘米的C2点，如此下去，你总在Cn点，我却在你的前方Cn+1点。"兔子当然不服，可又说不过乌龟。实际上比赛起来，用不了 1秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。
- Def：N是用不超过25个自然字不能定义的最小正整数。数一数上述N定义中的自然字只有23个，没有超过25个，即用不超过25个自然字定义了N，与N是用不超过25个自然字不能定义相矛盾。
- A、 B、C竞选，民意测验表明：有2/3的选民愿选A而不愿选B，有2/3的选民愿选B 而不愿选C。于是A说："根据2/3的选民保我而反B，2/3的选民保B而反C，说明我优于B，B优于C，所以我优于C，从而我最优，应该选我。"C不服 说道："那2/3保A反B之外的1/3选民反A而保C，那2/3保B而反C的选民之外1/3的选民反A而保C，则形成2/3的选民保C而反A，按你的逻 辑，我亦优于你，你优于B，我C最优，应选我。"B接着说："按你们的说法，B优于C，C优于A，则B优于A，即我亦最优，应该选我。"
- 一位已经谢顶的老教授与他的学生争论他是否为秃头问题。教授：我是秃头吗？学生：您的头顶上已经没有多少头发，确实应该说是。教授：你秀发稠密，绝对不算秃头，问你，如果你头上脱落了一根头发之后，能说变成了秃头了吗？学生：我减少一根头发之后，当然不会变成秃头。教授：好了，总结我们的讨论，得出下面的命题：'如果一个人不是秃头，那么他减少一根头发仍不是秃头'，你说对吗？学生：对！教授：我年轻时代也和你一样一头秀法，当时没有人说我秃头，后来随着年龄的增高，头发一根根减少到今天的样子。但每掉一根头发，根据我们刚才的命题，我都不应该称为秃头，这样经有限次头发的减少，用这一命题有限次，结论是：'我今天仍不是秃头'。
三次数学危机与悖论
第一次数学危机：
毕达哥拉斯认为：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
正是毕达哥拉斯定理（勾股定理）表明一些一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。
结局：一个人为了真理失去了生命――希帕索斯，公理化演绎体系在希腊诞生。
第二次数学危机（四条悖论）：
第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。
第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。第三个悖论是说"飞矢不动"，因为在某一时问间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静 止的。第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。这些反映了"无穷小"和"很小很小"的差别，这对微积分的产生了严峻的挑战。
结局：波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克雷、威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔等杰出数学家解决了这一问题，为微积分奠定了坚实的基础。
第三次数学危机：
罗素悖论：除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。该悖论的一个通俗化表述：理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。理发师是否自己给自己刮脸？
结局：由于基本所有的数学分支都建立在集合论的基础上，所以悖论动摇了整个数学的基础。至今，这个问题仍然解决的不完善，仍在继续......
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